Mathématiques de base Exemples

$\frac{6 + i}{2 + i}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{6 + i}{2 + 1 i}$ par le conjugué de $2 + 1 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{6 + i}{2 + 1 i} \cdot \frac{2 - i}{2 - i}$

Étape 2

Multipliez.

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Étape 2.1

Associez.

$\frac{(6 + i) (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Étape 2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.1

Développez $(6 + i) (2 - i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 (2 - i) + i (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Étape 2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 \cdot 2 + 6 (- i) + i (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Étape 2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 \cdot 2 + 6 (- i) + i \cdot 2 + i (- i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Étape 2.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{12 + 6 (- i) + i \cdot 2 + i (- i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Étape 2.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$\frac{12 - 6 i + i \cdot 2 + i (- i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Étape 2.2.2.1.3

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$\frac{12 - 6 i + 2 \cdot i + i (- i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Étape 2.2.2.1.4

Multipliez $i (- i)$ .

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Étape 2.2.2.1.4.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{12 - 6 i + 2 i - (i^{1} i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Étape 2.2.2.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{12 - 6 i + 2 i - (i^{1} i^{1})}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Étape 2.2.2.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{12 - 6 i + 2 i - i^{1 + 1}}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Étape 2.2.2.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{12 - 6 i + 2 i - i^{2}}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Étape 2.2.2.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{12 - 6 i + 2 i - - 1}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Étape 2.2.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{12 - 6 i + 2 i + 1}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Étape 2.2.2.2

Additionnez $12$ et $1$ .

$\frac{13 - 6 i + 2 i}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Étape 2.2.2.3

Additionnez $- 6 i$ et $2 i$ .

$\frac{13 - 4 i}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Étape 2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.1

Développez $(2 + 1 i) (2 - i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{13 - 4 i}{2 (2 - i) + 1 i (2 - i)}$

Étape 2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{13 - 4 i}{2 \cdot 2 + 2 (- i) + 1 i (2 - i)}$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{13 - 4 i}{2 \cdot 2 + 2 (- i) + 1 i \cdot 2 + 1 i (- i)}$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{13 - 4 i}{4 + 2 (- i) + 1 i \cdot 2 + 1 i (- i)}$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{13 - 4 i}{4 - 2 i + 1 i \cdot 2 + 1 i (- i)}$

Étape 2.3.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{13 - 4 i}{4 - 2 i + 2 i + 1 i (- i)}$

Étape 2.3.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{13 - 4 i}{4 - 2 i + 2 i - i i}$

Étape 2.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{13 - 4 i}{4 - 2 i + 2 i - (i^{1} i)}$

Étape 2.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{13 - 4 i}{4 - 2 i + 2 i - (i^{1} i^{1})}$

Étape 2.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{13 - 4 i}{4 - 2 i + 2 i - i^{1 + 1}}$

Étape 2.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{13 - 4 i}{4 - 2 i + 2 i - i^{2}}$

Étape 2.3.2.9

Additionnez $- 2 i$ et $2 i$ .

$\frac{13 - 4 i}{4 + 0 - i^{2}}$

Étape 2.3.2.10

Additionnez $4$ et $0$ .

$\frac{13 - 4 i}{4 - i^{2}}$

Étape 2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{13 - 4 i}{4 - - 1}$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{13 - 4 i}{4 + 1}$

Étape 2.3.4

Additionnez $4$ et $1$ .

$\frac{13 - 4 i}{5}$

Étape 3

Divisez la fraction $\frac{13 - 4 i}{5}$ en deux fractions.

$\frac{13}{5} + \frac{- 4 i}{5}$

Étape 4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{13}{5} - \frac{4 i}{5}$